Fatoriais guia: n!, permutações e combinações

5! = 120 conta as ordens de 5 livros na estante. Os fatoriais crescem depressa: 10! são 3,6 milhões e 52! supera os átomos do universo observável, por isso cada baralho embaralhado é único e as palavras-passe longas protegem. Este guia cobre definição, o famoso 0! = 1, permutações contra combinações e a tabela completa até 20.

Como usar Calculadora de fatorial

1. Introduz n acima (0 a 170).
2. Lê n! de imediato.
3. Usa abaixo para arranjos e probabilidades.

Fórmula

Conceitos-chave explicados

O que contam os fatoriais

Arranjos de n objetos distintos: 5 livros arrumam-se de 120 formas. Filas, brackets, listas e ordens de genes.

Zero objetos arrumam-se exatamente de uma forma (0! = 1!). Produtos vazios valem 1.

Porque é que o crescimento explode

Cada n multiplica os totais anteriores; 20! já passa os quintiliões. A intuição falha depois de 10!; os logaritmos domam.

Overflow depois de 170!: passa para logaritmos (Stirling). As astronomias ficam pequenas.

Matemática da lotaria, sem piedade

6/49 dá cerca de 1 em 14 milhões. Com 100 boletins dá cerca de 1 em 140.000. Mesmo assim não. Os sindicatos só dividem custos.

Valores esperados sempre negativos; orçamenta como diversão. Apostas rápidas são igualmente (im)prováveis.

Paradoxo dos aniversários (famosos 23)

Vinte e três pessoas bastam para 50 por cento de aniversários partilhados: matemática de pares. A combinatória surpreende; ganha apostas.

Colisões de hash cortam a força efetiva a metade: segurança de 128 bits pede 256.

Aproximação de Stirling (n gigante, sem calculadora)

n! ≈ √(2πn)(n/e)^n: compara logaritmos (Stirling) em vez de números. Os erros relativos encolhem.

Fundou a termodinâmica; viabilizou n grande. Confia nas aproximações.

Desarranjos: problemas dos chapéus

Permutações sem nada no lugar: contagens ≈ n!/e. Subfatoriais tabelados (!n!). Modela bengaleiros.

Derivados por inclusão e exclusão. Evita pontos fixos.

Matemática de palavras-passe: o comprimento esmaga a complexidade

O comprimento exponencia os espaços de busca para lá do viável. Doze aleatórias batem 8 enfeitadas.

Os gestores geram; regras de comprimento primeiro, da matemática de contagem. Símbolos depois.

Inferno de horários: TSP e muros fatoriais

Ordens e tarefas explodem de forma fatorial (caixeiros viajantes!). Mandam as heurísticas (vizinho mais próximo!).

A logística aproxima; desiste do exato depois de dezenas. Otimiza rotas.

Fatorial: contar em fatoriais

Sistemas numéricos fatoriais: formas únicas mistas que ordenam permutações. Códigos de Lehmer calculados.

Desordena por ordem; ativa estatísticas de ordem. Bases fatoriais.

Ataques de aniversário a hashes

Probabilidades de colisão obrigam ao dobro de bits: hashes de 256 bits para segurança de 128 bits. Os sais defendem.

Protocolos dimensionados em conformidade. O quântico corta de novo a metade.

Estrelas e barras: distribuições fáceis

Distribuir objetos iguais: C(n+k-1,k-1). Bolachas por crianças calculadas (10 para 3 dá 66!).

Unidades mínimas pré-distribuídas. Composições contadas.

1.326 mãos de Hold’em (combinatória de póquer)

1.326 no total; 169 estrategicamente distintas. Classes de mesmo naipe, naipe distinto e pares.

Constrói intervalos; calcula equidades. Decora tabelas pré-flop.

Multinomial: anagramas e resultados

n! sobre fatoriais duplicados (BALLOON = 1.260!). Resultados particionados.

Multinomiais de dados calculadas. Palavras contadas.

Subfatoriais: desarranjos tabelados

Contagens de desarranjos ≈ n!/e. Números de Rencontres arredondados. Amigos secretos válidos (sem auto!).

Recorrências (!n = (n-1)(!(n-1)+!(n-2))). Consulta tabelas.

Números de Catalan: parêntesis, árvores e triangulações

Contagens de parêntesis: C(n) = C(2n,n) ÷ (n+1). Árvores binárias, triangulações de polígonos e sequências de voto.

Recorrências por convolução. Desenha montanhas.

Brackets de torneio e isenções

Jogos a eliminar = equipas menos 1; sementes colocadas. Loucura de março com 2^63 brackets (≈ 9,2 quintiliões!).

Escolha hábil melhora para cerca de 1 em 100 mil milhões, mesmo assim não. Entra nas pools por diversão.

Contar anagramas (multinomial)

n! sobre fatoriais repetidos. Arranjos únicos, duplicadas colapsadas. Letras contadas.

Mãos de Scrabble avaliadas. Consulta geradores.

Números de telefone (involuções)

Contagens de pares: 1, 2, 4, 10, 26... Apertos de mão modelados. Os números de Bell generalizam.

Recorrências somadas. A combinatória delicia.

Funções gama: fatoriais além de inteiros

Γ(1/2) = √π, logo (1/2)! = √π/2: sementes de todos os fatoriais semi-inteiros. Integrais definem; polos nos não positivos.

Fundou a estatística (qui-quadrado!). Extensões analíticas.

Fatoriais duplos e semifatoriais

9×7×5×3×1 = 945; par 8!! = 8×6×4×2 = 384. Repara nas escadas de paridade.

Os produtos de Wallis usam-nos. Simplificam integrais.

Números de Bell: contar partições de conjuntos

Partições de objetos distintos em grupos sem rótulo: B3 = 5, B4 = 15 e B5 = 52. Soma de Dobinski.

Aglomerados enumerados. Recorrências (Touchard!).

Números de Stirling de ambas as espécies

Primeira (ciclos!) e segunda (subconjuntos!): recorrências triangulares. Somas de potências expandidas.

Sobrejeções contadas. Diferenças finitas ligadas.

Inclusão e exclusão: contar com sobreposições

Soma solteiros, subtrai pares, soma trios... Uniões dimensionadas. Desarranjos derivados.

Problemas de casais resolvidos. Polinómios de torres aplicados.

Ramsey R(3,3): a ordem esconde-se em cada festa

Seis: quaisquer seis pessoas contêm três amigas mútuas ou três estranhas mútuas, sempre. Os pombais provam.

Generalizações enormes (R(5,5) desconhecido!). Testa nas festas.

Triângulos de Pascal e linhas binomiais

Cada uma de n posições dentro ou fora dos subconjuntos: 2^n subconjuntos no total. As linhas somam potências de 2.

Identidades lidas (taco de hóquei!). Expansões calculadas.

Grelhas de sudoku: contar 6,67 sextiliões

Preenchimentos válidos enumerados (por computador!). Bandas e pilhas permutadas; reetiquetas quocientadas.

Puzzles minimizados (17 pistas!). Unicidade assumida.

Partições inteiras: Ramanujan e congruências

Somas sem ordem de n: p(4) = 5, a passar 190 milhões em p(100), com congruências de Ramanujan lá dentro. Funções geradoras estudadas.

Assintóticas de Hardy e Ramanujan domaram explosões. Recorrências pentagonais calculadas.

Problemas de casais: sentar sem cônjuges juntos

Senta casais sem esposas adjacentes: fórmulas de Touchard por inclusão e exclusão, muito menos que n! arranjos. Rotações circulares quocientadas.

Variantes de senhoras primeiro. Números tabelados.

Puzzles dos 15: porque é que metade é impossível

Paridade deslizante: metade dos arranjos parte invariantes de inversão e nunca resolve. Inversões contadas (pares!).

Testa a solubilidade antes de tentar. Regras de linha do vazio aprendidas.

Planos de mesas que explodem

Contagens fatoriais explodem; âncoras fixas colapsam milhões. Mesas e cabeceiras marcadas.

Separa desavenças; equilibra conversas. Software otimizado.

Palavras-passe a partir do comprimento

Doze aleatórias batem 8 enfeitadas; cada caratere multiplica o espaço. Gera com gestor (diceware!).

Substituições somam menos que carateres. Estende primeiro o comprimento.

Probabilidades da lotaria descodificadas

Quase catorze milhões para um; os sindicatos só dividem custos. Valores esperados negativos.

Aniversários sobre-escolhidos (1 a 31!): espalha as escolhas. Orçamenta como diversão.

Exemplo de estante com 5

120 ordens: arruma fileiras e conta. Séries agrupadas (estética!). Lombadas alinhadas.

4 pessoas em cadeiras

24 ordens: permuta assentos. Mesas redondas dividem rotações ((n-1)!). Marcadores postos.

Palavras-passe de 8 carateres

6,6 mil biliões: alonga para proteger. Força bruta cronometrada (séculos!). Adota gestor.

PIN de 4 dígitos: 10.000

10.000 códigos: escolhe ao acaso. Evita aniversários. Bloqueios limitam (tentativas!).

Lotarias 6 de 49: 14M

1 em 14M: aposta por diversão. Os sindicatos partilham. Apostas rápidas iguais.

Estilo europeu 5 de 50 mais 2 de 12

1 em 140M: pior que lotarias nacionais. Jackpots acumulam. Probabilidades impressas.

Dado de 6 faces

6 resultados: agita o copo. Justiça testada (qui-quadrado!). Opostos somam 7.

Dois dados: 36

36 pares: o 7 é o mais comum. Probabilidades de craps calculadas. Esperado 7.

Moedas 3 vezes: 8

8 sequências: aposta com justiça. Séries sem sentido. Desenha árvores.

Skat com 32 cartas

32! ordens: baralha bem. Jogos distribuídos (10-10-12!). Variantes Ramsch.

Baralho duplo com 48 cartas

Cada uma duas vezes: conta pares. Pontos de pinochle marcados. Mãos ordenadas.

Mãos de póquer: 2.598.960

2.598.960: probabilidades calculadas. Hierarquias decoradas. Saídas contadas.

Sequências reais 1:649.740

1 em 649.740: reais sonhadas. Compras perseguidas com juízo. Bancas geridas.

Flushes exemplo 1:508

0,198 por cento: naipes reunidos. Compras contadas (9 saídas!). Probabilidades de pote pesadas.

Objetivos de blackjack 21

Ases mais figuras: fica nos 17. Estratégia básica decorada. Contagens seguidas por lei.

Roleta com 37 números

2,7 por cento da casa: evita. Sistemas desmentidos. Bancas limitadas.

Roleta vermelha 18/37

48,6 por cento: o zero mata. Ilusões de dinheiro par notadas. Sai da mesa a tempo.

Bingo com 75 bolas

75 números: risca linhas. Cartões múltiplos (atenção!). Jackpots progressivos.

Pools da lotaria

Custos partilhados: probabilidades iguais. Contratos escritos (disputas!). Ganhos divididos.

Mesas de casamento com 10

3,6M ordens: fixa mesas. Separa desavenças. Marcadores postos.

Mesas redondas com 8: fórmula

(8-1)! = 5.040: rotações iguais. Cabeceiras marcadas. Géneros alternados.

Menus de 3 pratos: escolhas

3 × 4 × 2: pratos escolhidos. Dietas assinaladas. Vinhos emparelhados.

Gelados 3 bolas de 10 sabores

Com repetição C(12,3): cones lambidos. Coberturas somadas. Cartões selados.

Erros de aniversários na lotaria

1 a 31 sobre-escolhidos: espalha as escolhas. Evita calendários. Gera ao acaso.

Combinações de matrículas

Campos contados: sem I, O e Q. Formatos variam por estado. Vaidades verificadas.

Exemplo de PIN de telemóvel com 4 dígitos

10.000: evita aniversários. Biométricos ligados. Tentativas limitadas.

Padrões de telemóvel com 9 pontos

389.112: gestos complexos. Limpa dedadas. Maximiza o comprimento.

Gestores de palavras-passe

Uma mestra: resto gerado. Cofres sincronizados. 2FA em todo o lado.

Dois fatores com 6 dígitos

1M códigos: QR lido. Códigos de reserva guardados. Apps antes de SMS.

Yahtzee: 7.776 lançamentos

Copo agitado. Secções altas com bónus. Jokers estrategizados.

Monopólio com 40 casas

Casas circuladas: duplos lançados. Prisão visitada com estratégia. Trocas negociadas.

Rummy com 110 cartas

Sequências pousadas: 13 mãos. Jokers wild. Descartes seguidos.

Bridge com 52 cartas

13 vazas: contratos licitados. Mortos expostos. Convenções acordadas.

Fichas de póquer distribuídas

Montes iguais: blinds sobem. Recompras planeadas. Bancas separadas.

Brackets de torneio com 8

7 jogos a eliminar: vencedores escolhidos. Sementes respeitadas. Surpresas festejadas.

Grupos do Mundial com 4

6 jogos: passam 2. Desempates (diferença de golos!). Calendários desfasados.

Europeu com 24 equipas

6 grupos: qualificadas. Repescagens de terceiros. Anfitriões qualificados.

Bundesliga com 18 equipas

34 jogos: campeões pontuados. Descidas disputadas. Dérbis datados.

Liga dos Campeões nova com 36

Fase de liga: passam 8. Sorteios desenhados. Coeficientes ordenados.

Ordem de estafetas 4×100

24 ordens: testemunhos passados. Pistas sorteadas. Passagens treinadas.

Finais com 8 pistas de natação

Meio com favoritos: viragens feitas. Eliminatórias de manhã. Fatos aprovados.

Decatlo com 10 provas

Tabelas pontuadas. Segundo dia recuperado. Especialistas evitados.

Exemplo de grelhas de F1 com 20

Qualificação define grelhas: ultrapassa nas partidas. Estratégias de pneus divididas. Zonas de DRS decoradas.

Volta com 21 etapas

Etapas de 3 semanas: camisolas amarelas. Dias de descanso girados. Montanhas decisivas.

Onzes de futebol com 11

Formações 4-4-2: 5 substituições. Táticas treinadas. Bolas paradas ensaiadas.

Andebol com 7 em campo

6 mais guarda-redes: contra-ataques lançados. Exclusões cumpridas. Defesas à zona.

Basquetebol com 5 em campo

Quartos da NBA: afundanços lançados. Faltas geridas. Descontos guardados.

Quadros de ténis com 128

Brackets de 7 rondas: Slams levantados. Cabeças protegidas. Qualificados colocados.

Grand Slams com 7 rondas

128 para 1: melhor de 5. Superfícies especializadas. Calendários brutais.

Saída de dardos com 170

T20 T20 Bull: triplos mirados. Saídas treinadas. Entradas encenadas.

Bilhar com 15 bolas

Bolas embolsadas: tacos engizados. Padrões corridos. Defesas jogadas.

Bowling com 9 pinos (UE!)

Paus derrubados: bolas roladas. Spares convertidos. Pistas oleadas.

Combinações de 1.023 pontos no bowling

Combinações de pinos: strikes festejados. Spares apanhados. Handicaps aplicados.

Xadrez com 64 casas

Casas comandadas: mates dados. Aberturas estudadas. Relógios geridos.

Damas com 24 peças

Peças movidas: damas coroadas. Saltos forçados. Empates acordados.

Moinho de nove homens

Pedras postas: moinhos fechados. Fases mudadas. Adversários presos.

Gamão com 24 pontos

Pontos lançados: peças saídas. Dobros oferecidos. Pips contados.

Dominó com 28 pedras

Pedras pousadas: pintas contadas. Cemitérios sacados. Rondas ganhas.

Mahjong com 144 peças

Peças reunidas: rondas ganhas. Ventos rodados. Riichi declarado.

Uno com 108 cartas

Cartas lançadas: UNO cantado. Compras empilhadas (regras da casa!). Cores igualadas.

Exemplo de Phase 10

10 fases: conjuntos pousados. Skips lançados. Pontos somados.

Truques de Wizard

Vazas cantadas: trunfos cortados. Apostas exatadas. Pontos por aposta.

Contratos solo (Skat)

Solos triplicam: cobrados a dobrar. Schneider anunciado. Rondas Bock.

Schafkopf com 32 cartas

Trunfos bávaros: porcas chamadas. Hochzeit declarada. Sauspiele formados.

Ramsch de Skat

Sem licitação: vazas baratas levadas. Bónus Jungfrau. Durchmarsch temido.

Canasta com 500 pontos

Melds de 7: jokers sacados. Três vermelhos com bónus. Mãos congeladas.

Contratos de bridge

Vazas licitadas: cumpridas. Dobros arriscados. Slams festejados.

Torneios de póquer com 100

Um vencedor: fichas sobrevividas. Bolhas exploradas. ICM estudado.

Mundiais com 32 (antigo)

8 grupos: finais a 2. Potes sorteados. Anfitriões qualificados.

Qualificadores com 55 equipas

Passam 2: playoffs tremidos. Liga das Nações por trás. Sorteios com sementes.

100 m olímpicos: 8 finalistas

Eliminatórias até finais: recordes corridos. Pistas sorteadas. Falsas partidas fatais.

Maratonas: 42,195 km

Muros mordidos. Géis tomados. Ritmos nivelados. Medalhas ganhas.

Testemunhos de estafetas

Zonas de 20 m: chamadas ouvidas. Quedas desqualificam. Ordem por velocidade.

Natação 1.500 m

30 piscinas: viragens feitas. Ritmo negativo. Óculos apertados.

Ginástica com 6 aparelhos

Rotinas de homens: aparelhos rodados. Saídas cravadas. Notas somadas.

Paragens de F1 nas boxes

2 segundos: undercuts guiados. Tráfego explorado. Pneus pré-aquecidos.

22 pilotos de MotoGP

Grelhas inclinadas: curvas tomadas. Aspirações passadas. Pneus geridos.

Esqui de descida

Inclinações geladas: 130 esculpidos. Posições mantidas. Quedas deslizadas.

Biatlo de 20 km

4 tiroteios: voltas de penalização corridas. Corações acalmados. Espingardas levadas.

Linhas de hóquei com 4

Turnos de 60 seg: powerplays. Guarda-redes saídos tarde. Cargas feitas.

Passo a passo detalhado

Guia: mãos de póquer

1. Escolhe 5 de 52: C(52,5) = 52! ÷ (5! × 47!).
2. Calcula: 2.598.960 mãos possíveis.
3. Sequências reais (4 naipes) saem cerca de 1 em 649.740.

Guia: probabilidades de flush

1. Vias de flush: 4 naipes × C(13,5) = 1.287 dá 5.148.
2. Total: C(52,5) = 2.598.960.
3. P ≈ 0,198 por cento (cerca de 1 em 508).

Guia: comissões 3 de 10

1. C(10,3) = 10! ÷ (3! × 7!).
2. Cancela 7!: (10 × 9 × 8) ÷ 6 = 120.
3. A ordem não interessa: divide pelos arranjos.

Guia: 463 em fatorial

1. Maior fatorial abaixo de 463 é 5! = 120, pois 6! = 720 já passa. Misto: 463 ÷ 120 = 3 resto 103.
2. 103 ÷ 24 = 4 resto 7. 7 ÷ 6 = 1 resto 1. 1 ÷ 2 = 0 resto 1. 1 ÷ 1 = 1.
3. Dígitos: 3:4:1:0:1:1:0. Confere a multiplicar de volta.

Guia: bolachas para crianças

1. 10 bolachas iguais para 3 crianças.
2. Vias: C(10+3-1,3-1) = C(12,2) = 66.
3. Se cada uma recebe 1: distribui 3 e depois C(9,2) = 36.

Guia: probabilidades de Scrabble

1. 7 peças de 100 (9 E lá dentro).
2. P(só consoantes)? Hipergeométrica trabalhosa: simula.
3. Exato: contagem com C por multiconjunto de letras.

Guia: probabilidades de brackets

1. 63 jogos × 2 resultados = 2^63 ≈ 9,2 quintiliões de brackets.
2. Bracket perfeito sai cerca de 1 em 9,2 quintiliões (moedas ao ar).
3. Escolha hábil melhora para cerca de 1 em 100 mil milhões, mesmo assim não.

Guia: anagramas de BALLOON

1. 7 letras, L × 2 e O × 2.
2. 7! ÷ (2! × 2!) = 5.040 ÷ 4 = 1.260.
3. Arranjos únicos, duplicadas colapsadas.

Guia: contar matrículas (estilo ABC-1234)

1. Separa em campos independentes: 3 letras de 26 cada dão 26^3 = 17.576 e 4 dígitos dão 10^4 = 10.000. Multiplica para 175.760.000 matrículas.
2. Ajusta carateres banidos: sem I, O e Q as letras descem para 23^3 = 12.167. Os detalhes mudam milhões.
3. Regras de zeros à esquerda: se o primeiro dígito não pode ser zero, usa 9 × 10^3 = 9.000 em vez de 10.000 nos blocos numéricos.

Exemplos resolvidos

Complete reference tables

Factorials 0-20

Combinations C(n,k): ways to choose k from n (n ≤ 30)

Lottery 6/49 = C(49,6) = 13,983,816. Poker hands = C(52,5) = 2,598,960.

Fatoriais 0 a 20 (seleção)

Erros comuns a evitar

• Somar fatoriais (3! + 2! = 8, não 5!). Resolve primeiro as operações.
• Distribuir sobre somas ((a+b)! não é a! + b!). Respeita os parêntesis.
• Esquecer o 0! nos casos limite da combinatória. Conta os casos vazios.
• Surpresas de overflow depois de 170!: passa para logaritmos (Stirling). Verifica os limites.
• Confundir P com C (a ordem conta!). As comissões dividem por k!.
• Usar n! em vez de P(n,k) nas escolhas ordenadas. Preenche as posições por ordem.
• Adivinhar que 0! = 0 (errado, é 1!). Decora as definições.
• Calcular fatoriais gigantes de forma direta (overflow!). Usa logaritmos ou Stirling.

Dicas

• Cancela antes de calcular: 100!/98! = 100 × 99. Risca os fatores comuns.
• Nas combinações calcula pelo lado menor: C(n,k) = C(n,n-k). Explora a simetria.
• Estima fatoriais gigantes com Stirling: n! ≈ √(2πn)(n/e)^n. Compara logaritmos.
• Nas palavras-passe o comprimento vence o alfabeto: 12 aleatórias batem 8 enfeitadas. Usa gestor.
• Cancela fatores antes de calcular quocientes grandes. Risca os termos comuns.
• Calcula pelo lado menor das combinações. A simetria poupa metade do trabalho.
• Usa a simetria do lado menor nas combinações. Escolhe os complementos.

Onde você vai usar

Probabilidades

Cartas, lotarias e genética: contar resultados começa aqui. Dimensiona os espaços de amostra.

Horários

Ordens e tarefas explodem de forma fatorial (caixeiros viajantes!). Mandam as heurísticas.

Segurança

Espaços de chaves e força de palavras-passe são contagens de estilo fatorial. Dimensiona os bits.

Criptografia

Espaços de chaves são contagens à escala fatorial. O quântico corta os bits efetivos a metade.

Logística

Problemas de rotas explodem de forma fatorial (daí as heurísticas). Agrupa por zonas.

Palavras-passe

Regras de comprimento primeiro, da matemática de contagem. Gera com gestor. Nunca reutilizes.

Planos de mesas

Fixa mesas e âncoras antes de permutar os restantes convidados. Separa desavenças.

Escolher palavras-passe

Estende primeiro o comprimento; as substituições valem menos que carateres. Audita com regularidade.

Dar cartas

Conta as mãos com combinações antes de discutir probabilidades. Constrói intervalos.

Glossário

Perguntas frequentes

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