Factorial: n!, permutaciones y combinaciones

5! = 120 cuenta órdenes de 5 libros en la estantería. Los factoriales explotan rápido: 10! son 3,6 millones y 52! supera átomos del universo. Tres pasos bastan: introduce n (0-170), lee n! al instante y úsalo para arreglos y probabilidad. Esta guía cubre permutaciones, combinaciones, paradoja del cumpleaños, loterías, póquer, contraseñas y la combinatoria profunda: Catalan, Bell, Ramsey, Stirling y particiones. Porque barajar, apostar y sentar invitados son matemáticas factoriales.

Cómo usar Calculadora de factorial

1. Introduce n arriba (0-170).
2. Lee n! al instante.
3. Úsalo abajo para arreglos y probabilidad.

Fórmula

Conceptos clave, explicados

Qué cuentan los factoriales

5! = 5×4×3×2×1 = 120 cuenta órdenes de 5 libros: cada posición multiplica opciones restantes. El factorial mide arreglos ordenados, base de permutaciones y combinaciones.

Con 0 objetos hay 1 arreglo (el vacío): por eso 0! = 1 y las fórmulas no se rompen. Cuenta sillas, cartas y horarios con la misma receta.

Por qué el crecimiento explota

10! son 3,6 millones pero 20! ya 2,43 trillones: cada factor multiplica todo lo anterior. El crecimiento supera exponenciales y rompe intuiciones educadas en sumas.

52! (≈8×10^67) garantiza que cada barajada es única en la historia. Compara logaritmos (Stirling) cuando los números dejan de caber.

Lotería sin piedad

6/49 da 1 entre casi 14 millones: C(49,6) = 13.983.816, cálculo exacto sin misterio. Con 100 boletos sigues en 1 entre 140.000: mejora lineal sobre abismo.

Eurojackpot (5/50 + 2/12) cae a 1 entre 140 millones, peor que la primitiva. Las peñas reparten coste, nunca probabilidad.

Paradoja del cumpleaños (famoso 23)

Con 23 personas la probabilidad de compartir cumple supera 50 %: importan parejas (253), no personas. La intuición cuenta días, las mates cuentan pares.

Los hashes sufren igual: colisiones de cumpleaños recortan la seguridad efectiva a la mitad de bits. Por eso 128 bits de seguridad piden hashes de 256.

Stirling: gigantes sin calculadora

n! ≈ √(2πn)(n/e)^n estima factoriales enormes con error relativo pequeño. Para 100! da 9,33×10^157 sin multiplicar cien veces.

Tras 170! el doble desborda (máx ~10^309): pasa a logaritmos o Stirling. Compara gigantes por sus logs, nunca directos.

Desarreglos: problema de abrigos

Repartir abrigos sin que nadie reciba el suyo cuenta desarreglos: ¡n! redondea a n!/e. Con muchos abrigos la probabilidad tiende a 1/e ≈ 36,8 %.

La subfactorial tabula estos casi-aciertos para cada n. Inclusión-exclusión los deriva restando solapes.

Contraseñas: la longitud aplasta

12 caracteres aleatorios baten a 8 rebuscados: cada símbolo multiplica el espacio de búsqueda. La longitud exponencia; el alfabeto solo multiplica.

Un gestor con una maestra única y resto generado resuelve el dilema. 2FA de 6 dígitos añade un millón de códigos.

Infierno de horarios: TSP y muros

El viajante con n ciudades prueba n! rutas: 20 ciudades ya son 2,43 trillones de caminos. Los problemas de rutas explotan factorial y piden heurísticas.

Sentar 10 bodas da 3,6 millones de órdenes: fija mesas y anclas para colapsar millones. La logística vive de atajos, no de fuerza bruta.

Factorádico: contar en factoriales

El factorádico escribe cada entero en base mixta de factoriales: 463 = 3:4:1:0:1:1:0, verificación por expansión. Cada permutación tiene su rango único en este sistema.

Divide por 120, luego 24, 6, 2, 1 arrastrando restos: los cocientes son los dígitos. Ordena permutaciones sin listarlas.

Ataques de cumpleaños a hashes

Buscar colisiones cuesta raíz cuadrada del espacio: hash de 64 bits cae con 2^32 intentos. El ataque de cumpleaños es física matemática, no fallo de diseño.

De ahí 256 bits para 128 de seguridad real. Dimensiona hashes doblando bits siempre.

Estrellas y barras: repartos fáciles

10 galletas idénticas entre 3 niños dan C(12,2) = 66 repartos: fórmula C(n+k-1,k-1). Si cada niño exige 1, reparte 3 antes y calcula C(9,2) = 36.

Objetos idénticos + cajas distintas = estrellas y barras siempre. Poner mínimo 1 por caja resta antes de contar.

1326 manos Holdem (combinatoria)

52 cartas dan 1326 iniciales distintas y solo 169 estratégicas: palos simétricos colapsan miles. Contar manos precede a discutir cuotas.

El flop, turn y river multiplican árboles que la combinatoria poda. Estudia rangos, no manos sueltas.

Multinomial: anagramas y resultados

BALLOON tiene 7!/(2!×2!) = 1260 anagramas: divide por repeticiones de L y O. El multinomial generaliza combinaciones a varios grupos.

Dados, elecciones y letras comparten la misma división por duplicados. Cada letra repetida encoge el total factorial.

Subfactorial: desarreglos tabulados

La subfactorial !n cuenta permutaciones sin puntos fijos y roza n!/e desde n pequeño. Tabúlala y lee desarreglos sin recalcular.

El amigo invisible perfecto es un desarreglo navideño. Verifica con e cuando n crezca.

Catalan: paréntesis, árboles, triángulos

C(n) = C(2n,n)/(n+1) cuenta parentizaciones, árboles binarios y triangulaciones a la vez. Una fórmula, tres mundos combinatorios idénticos.

El 5 da 42: monks de paréntesis bien cerrados. Reconoce Catalan y ahorra conteos.

Cuadros de torneo y exentos

Un KO de 8 pide 7 partidos: cada partido elimina exactamente uno. Los exentos equilibran cuadros no potencia de 2.

March Madness multiplica 63 partidos por 2 resultados: 2^63 ≈ 9,2 trillones de cuadros. Acertar todo roza 1 entre trillones.

Contar anagramas (multinomial)

Palabra con letras repetidas: n! dividido por factoriales de repeticiones. Cada duplicado colapsa arreglos idénticos en uno.

Scrabble vive de multiconjuntos: cuenta por letras, no por posiciones. Las fichas repetidas recortan el espacio.

Teléfonos (involuciones)

Emparejar teléfonos cuenta involuciones: 1, 2, 4, 10, 26... cada término suma anteriores con regla propia. Contar parejas sin orden es combinatoria clásica.

El problema del menage separa parejas vecinas con Touchard e inclusión-exclusión. Sentar sin juntar esposos recorta n! drásticamente.

Gamma: factoriales más allá de enteros

Γ(1/2) = √π extiende el factorial a medios: (1/2)! = √π/2, germen de todo medio entero. La Gamma interpola n! a reales y complejos.

Γ(n+1) = n! une discreto y continuo en una curva. Física y probabilidad la usan a diario.

Doble factorial y semifactoriales

9!! = 9×7×5×3×1 = 945 salta de dos en dos; la par 8!! = 384. Respeta la escalera de paridad: impares con impares, pares con pares.

Integrales y volúmenes esféricos esconden dobles factoriales. Baja de dos en dos sin mezclar.

Bell: particiones de conjuntos

B3 = 5, B4 = 15, B5 = 52: Bell cuenta particiones de objetos marcados en grupos sin marcar. Agrupar invitados por mesas sin orden es Bell puro.

Cada objeto nuevo multiplica opciones de agrupación. Los números crecen más rápido que exponenciales.

Stirling de ambas clases

Primera clase cuenta permutaciones por ciclos; segunda reparte en k bloques no vacíos. Dos miradas gemelas sobre ordenar y agrupar.

Suma la segunda sobre k y recuperas Bell. Ciclos o bloques: elige tu veneno combinatorio.

Inclusión-exclusión: contar con solapes

Suma casos, resta pares, suma tríos: alterna hasta agotar solapes. Desarreglos y totientes nacen de esta alternancia.

Con dos conjuntos basta restar la intersección una vez. Dibuja Venn antes de contar.

Ramsey R(3,3): orden en cada fiesta

Seis personas contienen siempre tres amigos mutuos o tres extraños mutuos: R(3,3) = 6. El orden se esconde en toda fiesta assez grande.

Ramsey garantiza estructura en el caos con números exactos. Seis comensales nunca son aleatorios del todo.

Triángulo de Pascal y filas binomiales

Cada fila suma potencia de 2: n posiciones dentro o fuera dan 2^n subconjuntos. El triángulo lista C(n,k) fila a fila.

Lee diagonales y aparecen triangulares y tetraédricos. Pascal es la tabla periódica combinatoria.

Sudoku: contar sextillones

Hay 6,67 sextillones de cuadrículas Sudoku válidas: contarlas exigió simetrías y cómputo serio. Cada pista recorta el espacio factorial.

Las simetrías (rotar, permutar bandas) colapsan billones en clases. Resolver usa lógica; contar usa fuerza.

Particiones enteras: Ramanujan

p(4) = 5 sumas desordenadas y p(100) supera 190 millones: Hardy y Ramanujan domaron la explosión con el método del círculo. Congruencias ocultas ritman la secuencia.

Desordenadas significa 4+1 igual que 1+4: el orden no cuenta. Las particiones crecen casi exponenciales.

Menage: parejas separadas

Sentar sin esposos vecinos usa Touchard por inclusión-exclusión: muchísimo menos que n! arreglos. El protocolo alterna sexos y prohíbe adyacencias.

Cada restricción poda el factorial con precisión quirúrgica. Bodas sin roces vecinales.

15-puzzle: mitad imposible

La paridad deslizante rompe la invariante de inversiones en mitad de mezclas: esos puzzles jamás se resuelven. Cuenta inversiones y predice solubilidad.

Dos fichas cruzadas deciden destino antes de mover. La mitad del factorial queda prohibida.

Sentar que explota

Los órdenes factoriales explotan; fija anclas (novios, abuelos) y colapsa millones. Mesa redonda de 8: (8-1)! = 5040, la rotación no cuenta.

Primero anclas, luego permuta resto: divide y vencerás nupcial. Diez bodas dan 3,6 millones sin anclas.

Contraseñas desde la longitud

Alarga primero: cada carácter multiplica el espacio más que sustituciones ingeniosas. 8 aleatorios dan 6,6×10^15 combinaciones.

Sustituir a por @ suma menos que un carácter extra. Longitud manda, trucos acompañan.

Cuotas de lotería al desnudo

Primitiva 1 entre 14 millones; peñas que comparten décimos reparten premio, no probabilidad. Cumpleaños (1-31) sobrerrepresentados: dispersa números.

Quick-picks ni mejores ni peores: cada combinación equiprobable. El sorteo no recuerda tus números.

Estantería de 5 ejemplo

5 libros dan 120 órdenes: coloca y cuenta permutando. Cada hueco multiplica opciones restantes.

Con un fijo (enciclopedia) caen a 24: fija y multiplica menos. La estantería enseña factorial.

Sillas para 4 personas

4 personas en 4 sillas: 24 órdenes permutando asientos. Silla ocupada ya no elige.

Con 2 fijas quedan 2: el factorial se encoge rápido. Permuta invitados, no muebles.

Contraseña de 8 ejemplo

8 aleatorios bien elegidos resisten años de fuerza bruta doméstica. Alarga a 12 y el espacio se vuelve inabarcable.

Evita cumpleaños y palabras: el diccionario ataca antes que la fuerza. Longitud aleatoria gana.

PIN de 4: 10000

4 dígitos dan 10.000 códigos: elige al azar, nunca tu año. El móvil se protege mejor con 6.

Tres intentos bloquean: 10.000 bastan con límite de intentos. Fecha de nacimiento prohibida.

Lotería 6/49: 14M

13.983.816 combinaciones exactas: juega por diversión, no por plan. Cien boletos apenas mueven la aguja.

Catorce millones a uno explicado en una división. El bote tienta, la mate enfría.

Eurojackpot 5/50+2/12

1 entre 140 millones: diez veces peor que la primitiva nacional. Dos campos multiplican improbabilidad.

Botes gigantes compensan con sueños, no con mates. Juega poco y ríe mucho.

Dado de 6 caras

6 resultados equiprobables por tirada honesta. Dos dados dan 36 parejas con el 7 de moda.

El cubilete no tiene memoria: cada tirada empieza de cero. Cuenta parejas, no corazonadas.

Dos dados: 36

36 parejas ordenadas y el 7 con 6 formas: la más frecuente. Suma distribuciones antes de apostar.

El 2 y el 12 solo tienen una forma cada uno. La tabla de sumas manda en craps.

Moneda triple: 8

3 lanzamientos dan 8 secuencias equiprobables. Apuesta justo con potencias de 2.

Cara-cara-cara igual de probable que cualquier otra: 1/8. La moneda no compensa rachas.

Skat de 32 cartas

32! órdenes piden mezclar de verdad: siete riffles barajan. Cada reparto es historia única.

Treinta y dos naipes alemanes con su propio póquer de mates. Mezcla serio o repite.

Doppelkopf de 48

Cada carta duplicada: cuenta parejas, no singles. Los solos triplican premios con riesgo.

Cuarenta y ocho naipes con gemelos en cada palo. Parejas que puntúan doble.

Mano de póquer 2598960

C(52,5) = 2.598.960 manos: calcula cuotas antes de farolear. Cada mano nace equiprobable del mazo.

Dos millones y medio de destinos en cinco cartas. La tabla de pagos refleja conteo.

Escalera real 1:649740

4 formas de royal entre millones: 1 entre 649.740, sueña barato. El color real corona noches enteras.

Cuatro palos, cuatro sueños idénticos. Juega la probabilidad, no la ilusión.

Color 1:508 ejemplo

Caminos de color: 4 palos por C(13,5)=1287 dan 5148, probabilidad 0,198 % (≈1/508). El color se persigue con proyecto, no con fe.

Quinientas ocho manos por cada color medio. Cuenta outs antes de pagar.

Blackjack objetivo 21

As más figura suma 21: con 17 planta siempre según básica. La banca juega con reglas fijas que la mate explota.

Veintiuna paga 3:2 en mesas buenas. Básica memorizada recorta la casa.

Ruleta 37 números

37 casillas con cero: la casa guarda 2,7 % de cada apuesta. Evita la americana de doble cero (peor).

Treinta y siete destinos y ninguno con ventaja. Juega poco, cena bien.

Ruleta rojo 18/37

18 rojos entre 37: 48,6 %, el cero asesina el fifty-fifty. Ninguna martingala resucita el 2,7 %.

El cero viste de verde y cobra peaje. Rojo o negro: casi moneda truncada.

Bingo 75 bolas

75 números cantados hasta completar filas: marca y canta línea. Cada bola equiprobable del bombo.

Setenta y cinco gritos por cartón premiado. Tacha rápido y grita más.

Peña de lotería

Repartir coste sin repartir probabilidad: la peña abarata el sueño. Firma participaciones y evita pleitos.

Coste dividido, ilusión multiplicada, mates intactas. Por escrito todo.

Mesa de boda para 10

3,6 millones de órdenes sin anclas: fija cabeceras y colapsa el caos. Las mesas se planean por bloques, no por personas.

Diez sillas piden mapa impreso en la entrada. Anclas primero, resto después.

Mesa redonda de 8

(8-1)! = 5040: las rotaciones no cuentan como distintas. Fija un comensal y permuta siete.

Cinco mil cuarenta cenas distintas con los mismos ocho. Redonda ahorra protocolo.

Menú de 3 pasos

3 primeros por 4 segundos por 2 postres: 24 menús combinando. Elige por pasos multiplicando.

Veinticuatro cenas distintas sin repetir plato. El menú se cuenta antes de pedirse.

Helado 3 bolas 10 gustos

Con repetición C(12,3) = 220 cucuruchos distintos. Repetir sabor cuenta como combinación con reemplazo.

Doscientos veinte veranos en tres bolas. Pide raro y cuenta.

Error cumpleaños en lotería

Elegir 1-31 por fechas concentra apuestas en pocos números: dispersa para no compartir premio. El bombo ignora santorales.

Si toca fecha popular, el premio se trocea. Números altos y repartidos.

Matrículas combinadas

Cuenta por campos independientes y multiplica: letras por dígitos. Excluye I, O, Q ambiguas y la base cambia.

Cada regla (cero inicial prohibido) mueve millones de placas. Los campos se multiplican, no se suman.

PIN de móvil ejemplo

10.000 códigos y la gente elige 1234 o su año: sé aleatorio. Seis dígitos multiplican por cien.

Tu nacimiento lo sabe medio barrio: PIN ciego. Aleatorio escrito en ningún sitio.

Patrón de 9 puntos

389.112 patrones posibles con trazo complejo: cruza y reutiliza. El hombro ajeno lee patrones simples.

Complejo de dibujar, imposible de espiar. Limpia la pantalla delator.

Gestor de contraseñas

Una maestra memorizada y el resto generado: el gestor recuerda por ti. Única copia de la maestra en tu cabeza.

Un maestro fuerte abre cien puertas aleatorias. Sin gestor repites, y repetir pierde.

Doble factor de 6

Un millón de códigos rotando cada 30 segundos: escanea el QR y guarda respaldo. El segundo factor frena filtraciones.

Seis dígitos temporales que el ladrón no adivina. Códigos de respaldo impresos.

Yahtzee 7776

6^5 = 7776 tiradas de cinco dados: guarda el cubilete y repite. El full se busca con estrategia, no con fe.

Siete mil jugadas distintas en un vaso. Categorías que puntúan distinto.

Monopoly 40 casillas

40 casillas por vuelta con dobles que caminan: la cárcel visita más que Paseo. Probabilidad de casilla decide compras.

Cuarenta paradas y el azar reparte inquilinos. Compra naranjas y rojas.

Rommé 110 cartas

Secuencias que se tienden con 13 en mano inicial. Golpear mesa cierra ronda en Rommé.

Ciento diez naipes con comodines comodones. Trece cartas piden escalera.

Bridge 52 cartas

13 bazas por mano con subasta de contrato previo. El muerto juega abierto y el declarante manda.

Cincuenta y dos cartas, cuatro genios, un contrato. Canta y cumple.

Fichas de póquer

Montones iguales con ciegas que suben: reparte equitativo y temporiza. Las fichas cuentan torneo, no dinero.

Ciegas crecientes fuerzan acción inevitable. Pila inicial idéntica para todos.

Cuadro de 8 torneo

7 partidos KO coronan campeón de ocho: cada derrota elimina. Sortea cuadro y pronostica.

Siete finales en una para un solo trofeo. El cuadro manda más que el ranking.

Grupo Mundial de 4

6 partidos de grupo con dos clasificados: cada punto pesa oro. Terceros que rezan calculadoras.

Cuatro equipos, seis batallas, dos billetes. El golaveraje decide dramas.

Eurocopa de 24

6 grupos que clasifican con terceros de repesca dramática. Veinticuatro selecciones y un mes de fútbol.

Terceros que pasan por calculadora de goles. La fase expande sorpresas.

Bundesliga 18 equipos

34 jornadas que puntúan campeonas: cada punto cuenta doble en mayo. Dieciocho clubes, un torbellino.

Treinta y cuatro domingos deciden Meisterschale. La regularidad corona.

Champions nueva de 36

Fase liga de 36 con top 8 directo: más noches grandes. El formato nuevo multiplica combinaciones.

Treinta y seis aspirantes, ocho billetes dorados. Cada gol altera el corte.

Relevo 4x100 orden

24 órdenes de postas con cambios de testigo críticos. El orden decide curvas y rectas.

Veinte metros de margen con descalificación al acecho. Posta ensayada, medalla posible.

Calles 8 final natación

Final de 8 con centrales para mejores marcas: nada por tu calle. El viraje decide finales igualadas.

Ocho nadadores, una pared, voleretas sincronizadas. Calle 4 para el favorito.

Decatlón 10 pruebas

Diez disciplinas que puntúan por tabla: el orden rota sedes. Dos días que coronan al más completo.

Tablas no lineales premian marcas redondas. El 1500 final decide oros.

F1 parrilla de 20

20 monoplazas ordenados por crono del sábado. La salida adelanta más que cien vueltas.

Veinte pilotos, una curva uno, caos garantizado. Clasifica delante o sufre.

Tour 21 etapas

Tres semanas y 21 etapas visten de amarillo al más regular. Puertos, cronos y sprinters rotan guion.

Veintiún días con dos descansos tácticos. El maillot se gana en montaña.

Once de fútbol

Formación 4-4-2 con 5 cambios modernos: elige sistema según rival. Once titulares y banquillo que remonta.

Cada puesto multiplica variantes tácticas. El míster cuenta onces, no nombres.

Balonmano 7 en pista

6 más portero a ritmo de vértigo: lanza con tempo. El pivote abre huecos imposibles.

Siete guerreros con cambios ilimitados. Velocidad que desborda defensas.

Baloncesto 5 en pista

Quintetos NBA por cuartos: el mate corona transiciones. Cinco que defienden y corren.

Faltas que rotan banquillos enteros. El triple moderno multiplica puntos.

Cuadro tenis de 128

128 tenistas y 7 rondas hasta alzar Slam: cada partido al mejor de 5. El cuadro se sortea, la gloria se gana.

Ciento veintiocho sueños, una copa. Séptima victoria o nada.

Slam de 7 rondas

De 128 a 1 en siete victorias seguidas. El mejor de 5 premia fondo físico.

Siete montañas sin red de consolación. Campeón invicto o eliminado.

Dardos checkout 170

T20 T20 Bull: el cierre máximo exige triples quirúrgicos. Apunta triple y respira.

Ciento setenta que separan leyendas de pub. El Bull final tiembla.

Phase 10 ejemplo

10 fases de tríos y escaleras por orden: completa en turno para avanzar. Las fases se encadenan sin piedad.

Diez escalones de cartas con paciencia de monje. Salta fase o repite.

Wizard bazas

Anuncia bazas exactas y clava el triunfo: puntos por precisión, no por montón. El mago premia oráculos.

Cada mano apuesta cuántas gana: ni una más. Triunfo que cambia de palo.

Soli Doppelkopf

Solo contra tres con cobro doble: arriesga con mano fuerte. El solista desafía la mesa entera.

Tres rivales coordinados contra tu audacia. Solo rentable con triunfos largos.

Schafkopf 32

Triunfo bávaro con la Sau llamada de compañera. Treinta y dos naipes alemanes de taberna.

Llama a la Sau y encuentra socio secreto. Baviera juega seria.

Ramsch de Skat

Sin subasta y a perder pocas bazas: el barato pincha caro. Ramsch castiga al que se lleva puntos.

Nadie quiere bazas y todos las cazan. Perder bien también puntúa.

Canasta 500

Meldungen de 7 con comodines que aceleran: suma 500 y cierra. Siete iguales cantan canasta.

Quinientos puntos de paciencia por parejas. El pozo decide partidas.

Contrato de Bridge

Anuncia bazas y cúmplelas o sangra puntos. El contrato obliga al declarante.

Subasta que promete y carteo que ejecuta. Cumple o paga.

Torneo de póquer 100

Cien aspirantes y un superviviente de fichas: la burbuja tensa bolsillos. Sobrevive al dinero y ataca.

Un ganador entre cien soñadores. Las fichas no se comen.

Mundial 32 clásico

8 grupos de 4 con final de 2: el formato eterno. Treinta y dos himnos y un campeón.

Ocho cabezas de serie, un sorteo traidor. La fase decide casi todo.

Clasificación 55

55 aspirantes europeos con dos directos y repesca temblorosa. Los segundos rezan playoffs.

Cincuenta y cinco sueños, trece billetes. Cada ventana FIFA pesa.

100m con 8

Ocho finalistas desde series previas: el récord se esprinta en 10 segundos. Calles centrales para marcas.

Ocho rayos en nueve segundos y pico. La salida decide medallas.

Maratón 42195

42,195 km con muro en el 30: el gel salva piernas. Muerde el muro y sigue.

Cuarenta y dos kilómetros de gestión del dolor. El 30 filtra héroes.

Testigo de relevo

Zona de 20 metros con grito de entrega: el palo manda. Fallo de cambio, descalificación.

Veinte metros de sincronía a 35 km/h. Escucha la voz y corre.

1500 natación

30 largos con virajes de campana: gira y desliza. El ritmo se nada, no se piensa.

Treinta piscinas de monotonía gloriosa. Viraje que gana segundos.

6 aparatos gimnasia

Programa masculino de 6 aparatos con finales por equipos. Cada aparato pide un cuerpo distinto.

Seis hierros que coronan al completo. La salida clavada puntúa.

Parada en boxes F1

2 segundos que ganan carreras con undercut perfecto. El tráfico decide ventanas.

Dos segundos, cuatro ruedas, cero errores. Para pronto y cruza dedos.

MotoGP 22

22 pilotos en parrilla inclinando en cada curva. La trazada decide adelantamientos.

Veintidós motos a 350 por recta. Codo al suelo y gas.

Descenso esquí

Hielo, caídas y 130 km/h tallando: levántate y sigue. El descenso perdona poco.

Ciento treinta por hora sobre dos tablas. La red recoge errores.

Biatlón 20km

4 tiradas con vuelta de 150 m por fallo: dispara calmado. El esquí cansa, el rifle decide.

Veinte kilómetros con pulso de 180. Cada bala ahorra una vuelta.

Líneas hockey 4

Cambios de 60 segundos con powerplay de 5 contra 4. El disco corre más que todos.

Cuatro líneas rotando sin pausa. Superioridad que se aprovecha.

Guía paso a paso

Guía: manos de póquer

1. Elige 5 de 52: C(52,5) = 52! / (5! × 47!).
2. Calcula: 2.598.960 manos posibles.
3. Escalera real (4 formas) ≈ 1 entre 649.740.

Guía: cuotas de color

1. Caminos de color: 4 palos por C(13,5)=1287 dan 5148.
2. Total: C(52,5) = 2.598.960.
3. P ≈ 0,198 % (≈1 entre 508).

Guía: comité 3 de 10

1. C(10,3) = 10! / (3! × 7!).
2. Recorta 7!: (10 × 9 × 8) / 6 = 120.
3. El orden no importa: divide por arreglos.

Guía: 463 en factorádico

1. Mayor ! bajo 463: 5! = 120 (6! = 720 se pasa). Mixto: 463 / 120 = 3 resto 103.
2. 103 / 24 = 4 resto 7. 7 / 6 = 1 resto 1. 1 / 2 = 0 resto 1. 1 / 1 = 1.
3. Dígitos: 3:4:1:0:1:1:0; verifica expandiendo.

Guía: galletas a niños

1. 10 galletas idénticas, 3 niños.
2. Formas: C(10+3-1, 3-1) = C(12,2) = 66.
3. Con mínimo 1 por niño: reparte 3 antes, luego C(9,2) = 36.

Guía: cuotas de atril Scrabble

1. 7 fichas de 100 (9 eses dentro).
2. ¿P(todas consonantes)? Hipergeométrico pesado; o simula.
3. Exacto: conteo C por multiconjunto de letras.

Guía: cuotas de cuadro Madness

1. 63 partidos por 2 resultados = 2^63 ≈ 9,2 trillones de cuadros.
2. Cuadro perfecto ≈ 1 entre 9,2 trillones (monedas).
3. Pronóstico experto lo baja a 1 entre 100 mil millones; aun así no.

Guía: anagramas BALLOON

1. 7 letras, L doble, O doble.
2. 7! / (2! × 2!) = 5040 / 4 = 1260.
3. Arreglos únicos, duplicados colapsados.

Guía: contar matrículas (estilo ABC-1234)

1. Separa campos independientes: 3 letras de 26 dan 26³ = 17.576 y 4 dígitos 10⁴ = 10.000; multiplica: 175.760.000 placas.
2. Ajusta prohibidas: sin I, O, Q la base cae a 23³ = 12.167; los detalles mueven millones.
3. Regla de cero inicial: si el primero no puede ser cero usa 9 × 10³ = 9.000 en el bloque.

Ejemplos resueltos

Complete reference tables

Factorials 0-20

Combinations C(n,k): ways to choose k from n (n ≤ 30)

Lottery 6/49 = C(49,6) = 13,983,816. Poker hands = C(52,5) = 2,598,960.

Factoriales 0-20 (selección)

Errores comunes a evitar

• Sumar factoriales (3! + 2! = 8, no 5!).
• Repartir sobre sumas ((a+b)! distinto de a! + b!).
• Olvidar 0! en casos borde combinatorios.
• Sorpresas de desborde tras 170!: pasa a logs (Stirling).
• Confundir P con C (¡el orden!).
• Usar n! en vez de P(n,k) al elegir con orden.
• Adivinar 0! = 0 (falso: es 1).
• Calcular factoriales gigantes directos (¡desborde!).

Trucos

• Recorta antes de calcular: 100!/98! = 100 × 99.
• Combinaciones: calcula el lado pequeño C(n,k) = C(n,n-k).
• Estima gigantes con Stirling: n! ≈ √(2πn)(n/e)^n.
• Contraseñas: la longitud gana al alfabeto; 12 aleatorios baten 8 rebuscados.
• Cancela factores antes de cocientes grandes.
• Calcula el lado pequeño de combinaciones.
• Usa la simetría del lado pequeño en combinaciones.

Dónde lo usarás

Probabilidad

Cartas, lotos, genética: contar resultados empieza aquí.

Horarios

Órdenes y asignaciones explotan factorial (¡viajante!).

Seguridad

Espacios de claves y fuerza de contraseñas son conteo factorial.

Cripto

Los espacios de claves son conteo a escala factorial.

Logística

Los ruteos explotan factorial (por eso heurísticas).

Contraseñas

Reglas de longitud primero, desde la mate de conteo.

Sentar invitados

Fija mesas y anclas antes de permutar resto.

Elegir contraseñas

Alarga primero; sustituir suma menos que un carácter.

Repartir cartas

Cuenta manos con combinaciones antes de discutir cuotas.

Glosario

Preguntas frecuentes

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